Análise dimensional e semelhança

 

 

Análise Dimensional e Semelhança

Análise dimensional é um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise.

A análise dimensional é particularmente útil para:

- Apresentar e interpretar dados experimentais;

- Resolver problemas difíceis de atacar com solução analítica;

- Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno;

- Modelagem física.

Dimensões primárias

massa	M	[kg]
comprimento	L	[m]
tempo	T	[s]
temperatura	θ	[K]

Dimensões de grandezas derivadas

Geometria	Grandeza	Símbolo	Dimensão
	Área	A	L2
	Volume	V	L3
Cinemática	Velocidade	U	LT-1
	Velocidade Angular	ω	T-1
	Vazão	Q	L3T-1
	Fluxo de massa	m	MT-1
Dinâmica	Força	F	MLT-2
	Torque	T	ML2T-2
	Energia	E	ML2T-2
	Potência	P	ML2T-3
	Pressão	p	ML-1T-2
Propriedades Dos Fluido	Densidade	ρ	ML-3
	Viscosidade	μ	ML-1T-1
	Viscosidade Cinemática	ν	L2T-1
	Tensão superficial	σ	MT-2
	Condutividade Térmica	k	MLT-3θ
	Calor Específico	CP, CV	L2T-2θ-1

Semelhança

Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica. Portanto, utilizam-se com freqüência estudos experimentais.

Métodos analíticos nem sempre são satisfatórios:

- Limitações devido às simplificações necessárias para resolver as equações;

- Análise detalhada com grande complexidade/custo;

Muito do trabalho experimental é feito com o próprio equipamento ou com réplicas exatas. Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia é realizada utilizando-se modelos em escala.

No entanto, sem planejamento e organização, os procedimentos experimentais podem:

- Consumir muito tempo;

- Não ter objetividade;

-         Custarem muito.

Utilização de modelos em escala

Vantagens econômicas (tempo e dinheiro);

- Podem-se utilizar fluidos diferentes dos fluidos de trabalho;

- Os resultados podem ser extrapolados;

- Podem-se utilizar modelos reduzidos ou expandidos (dependendo da conveniência);

As comparações são realizadas entre o PROTÓTIPO (avião, navio) em escala real e o MODELO em escala reduzida ou aumentada.

Comparação entre Protótipo e Modelo

Para ser possível esta comparação e conseqüente a utilização dos resultados do modelo ao protótipo é indispensável que os conjuntos de condições sejam FISICAMENTE SEMELHANTES.

O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral que envolve uma variedade de tipos de semelhança.

 Semelhança Geométrica

Semelhança Cinemática

       Semelhança Dinâmica

Semelhança Geométrica

Semelhança de forma. A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes (modelo e protótipo) é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente no protótipo é uma constante. Esta razão é conhecida como FATOR DE ESCALA.

A semelhança geométrica é o requisito mais óbvio para que um modelo possa corresponder a um dado protótipo.

Nem sempre é fácil obter a semelhança geométrica perfeita. Deve-se lembrar que não só a forma global do modelo tem que ser semelhante à do protótipo, como também a rugosidade das superfícies deveria ser geometricamente semelhantes.

Semelhança Geométrica

Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida não pode ser obtida de acordo com o fator de escala – problema de construção/de material/de acabamento das superfícies do modelo.

Exemplo: Estudo do movimento dos sedimentos nos rios. Um modelo em escala pode exigir o uso de um pó excessivamente fino para representar o sedimento.

No caso de protótipos muito grandes, o recurso de modelos distorcidos (fator de escala diferentes entre os comprimentos na horizontal e na vertical) é inevitável.

Semelhança Cinemática

Semelhança cinemática é a semelhança do movimento, o que implica necessariamente semelhança de comprimentos (semelhança geométrica) e semelhança de intervalos de tempo.

Exemplo de semelhança cinemática: Planetário.

O firmamento é reproduzido de acordo com um certo fator de escala de comprimento e, ao copiar os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão fixa de intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e acelerações.                 

Escoamentos que possuem semelhança cinemática, os padrões formados pelas linhas de corrente são geometricamente semelhantes.

Uma vez que as fronteiras do escoamento correspondem a linhas de correntes, só é possível obter escoamentos semelhantes, do ponto de vista cinemático, em fronteiras geometricamente semelhantes.

No entanto, esta condição não é suficiente para assegurar a semelhança geométrica dos padrões das linhas de corrente a uma distância significativa das fronteiras.

A semelhança geométrica nas fronteiras é uma condição necessária, mas não suficiente para haver semelhança cinemática dos escoamentos.

Semelhança Dinâmica

Semelhança Dinâmica é a semelhança das forças. Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa.

As forças que determinam o comportamento dos fluidos têm várias origens:

1. Forças devidas às diferenças de pressão;

»DpL²

2. Forças resultantes da ação da viscosidade;

»mUL

3. Forças devido à tensão superficial;

»sL

4. Forças elásticas;

»KL²

5. Forças de inércia.

»rL²U²

6. Forças devido à atração gravitacional

»rL³g

Grupos Adimensionais

Grupo Adimensional	Nome	Razão das forças representadas	Símbolo habitual
ULr m	Número de Reynolds	Força de Inércia Força Viscosa	Re
U   _ (Lg)1/2	Número de Froude	Força de Inércia Força da Gravidade	Fr
U(Lr)1/2 (s)	Número de Weber	Força de Inércia Força de tensão Superficial	We
U   _ c	Número de Mach	Força de Inércia Força elástica	M